Будущий известный советский художник родился еще в царской России, 26 мая 1912 года в Москве. В 1927 году окончил общую школу. Уже с юношеских лет, с 1928 года, Быков начал заниматься росписью стеклянных изделий в художественной артели «Древэлектро». В 1930 году, вследствие закрытия Артели, временно был вынужден сменить род деятельности и устроился рабочим на авторемонтный завод. Но уже через два года будущий художник возвращается к тому, что ему более интересно. Судьба знакомит его с художником Константином Юоном, в классе живописи которого Быков начинает постигать азы художественного ремесла. В 1934 году Быков решает поступить в Художественно-педагогическое училище имени 1905 года, где его преподавателями становятся Николай Крымов, А. Чирков, К. Морозов, Георгий Ряжский. По окончанию училища в 1934 году, Быков занимается преподавательской деятельностью в средней школе.

Дальнейшие годы жизни художника, как и многих советских людей конца 1930-х годов, были омрачены войной. В 1939 году он добровольно ушёл на фронт в войне с финнами, после чего остался служить в кадровой армии. В 1941 году в составе своей воинской части Быков был направлен в действующую армию Западного фронта. По окончанию войны, будучи награжденным орденом Отечественной войны и медалями за боевые заслуги, за оборону Кавказа, за освобождение Праги, за взятие Берлина и за победу над Германией, он возвращается к своему любимому делу и продолжает заниматься в классе живописи Константина Юона. В 1946 году приходит признание в профессиональной среде, он вступает в Московский Горком художников, а в 1950 году Быкова принимают в Московском товариществе художников. В 1957 году художник достигает вершины славы и становится членом Союза художников СССР.

Свои работы художник выполнял преимущественно в станковой живописи. За годы профессиональной деятельности принял участие в многочисленных выставках художников. Картины Александра Петровича Быкова находятся в государственных и частных собраниях России и за рубежом.